Extremum unei funcții de mai multe variabile on-line

anterior ◈ următoarea
Reguli de opțiuni de intrare:
  1. Toate variabilele varazhayutsya prin x, y
  2. Toate operațiunile matematice exprimate în termeni de simboluri convenționale (+, -, *, /, ^). De exemplu, x 2 + xy, scrise ca x ^ 2 + x * y.
  3. rădăcină pătrată: sqrt. De exemplu, sqrt (x ^ 2 + 1/2 * y ^ 2), arcsin (x) = asin (x). e x = exp (x)

Pentru funcția de trei variabile poate fi utilizată matricea Hessian.







Studiul Algoritmul unei funcții de două variabile pe extremelor

Funcția z = f (x, y) are un maxim în punctul M0 (x0, y0), în cazul în care f (x0; y0)> f (x, y) pentru toate punctele (x, y), suficient de aproape de punctul (x0; y0) și diferit de ea. Funcția z = f (x, y) are un minim la punctul de M0 (x0, y0), în cazul în care f (x0, y0) dz / dx și dz / dy.
2. Rezolva sistemul de ecuații:


și, astfel, sunt puncte critice.
3. Găsiți un al doilea ordin derivate parțiale:


4. Se calculează valorile de ordinul al doilea parțial găsit în fiecare dintre punctele critice în revendicarea 2 M (x0, y0).








5. concluzionează că Extrema:
a) Dacă AC - B 2> 0 și A <0. то в точке M имеется максимум;
b) în cazul în care AC - B 2> 0 și A> 0. apoi la punctul M există un minim;
c) în cazul în care AC - B 2 <0, то экстремума нет;
d) în cazul în care AC - B 2 = 0, atunci întrebarea dacă extremum este încă deschisă;

Exemplu. Găsiți extremelor funcției f (x, y) = x 3 + xy 2 + x 2 + y 2 și pentru a determina criteriul Sylvester tipul lor.
Decizie.
1. Noi găsim primii derivatele parțiale.


2. Rezolva sistemul de ecuații.
3x 2 + 2x + y 2 = 0
2xy + 2y = 0
obținem:
a) Din prima ecuație ne exprimăm x și se înlocuiește în a doua ecuație:
x = -1
2 y + 1 = 0
Acest sistem de ecuații nu are nici o soluție.
b) Din prima ecuație ne exprimăm y și substitut în a doua ecuație:
„/>

sau
„/>

sau
Acolo unde x1 = -2/3; x2 = 0; x3 = -2/3; x4 = 0
Aceste valori sunt substituite în x expresie pentru y. Obținem: y1 = 0; y2 = 0; y3 = 0; y4 = 0
Numărul punctelor critice este 2: M1 (-2/3, 0), M2 (0, 0)
3. Să ne derivatele parțiale de ordinul doi.



4. calcula valoarea derivatelor parțiale de ordinul doi la punctele critice M (x0, y0).
Se calculează valorile pentru punctul M1 (-2/3; 0)



AC - B 2 = 4 = 2 -4/3> 0 și A> 0. apoi M2 la (0, 0) este z minimă (0, 0) = 0
Concluzie. La punctul M2 (0, 0) este de minimum z (0, 0) = 0







anterior ◈ următoarea