Gradul de polinomului

polinom de gradul.

Să - inel nenul comutative și - .. polinoame Ring exemplu, expansiune simplu, folosind transcendente

Orice element de nenul o poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație liniară de coeficienți cu grade K.

Determinare. Să o - un polinom de număr întreg pozitiv este numit gradul de polinomului și dacă undeva Astfel, cu, numit coeficienții polinomului, elementul - lider de coeficient. Polinomul A este normalizat atunci când coeficientul său de conducere este egal cu un inel.

Indică gradul de polinomului și va fi prin intermediul.

Astfel, gradul de polinoame determinate pentru toți, cu excepția zero; polinomului de zero grade nu este definit. polinom de gradul în care - elementul de zero al inelului este zero.

Notă o anumită măsură, proprietățile polinomului.

Propozitia 1.5. Gradul de suma nenul a două polinoame de grad nu mai mare decât maximul summands m. F ..

Propozitia 1.6. Gradul de produs a două polinoame de nenulă nu mai mare decât suma gradelor de factori, t. E. În timpul

Dovada propozițiilor 1.5 și 1.6 pentru cititor.

Propozitia 1.7. Dacă - integritatea regiunii, gradul de produsul a două polinoame este suma factorilor grade nenule, adică ..

Dovada. Să - polinoame peste un domeniu de integritate. De atunci - integritatea zonei, atunci. Prin urmare,

Teorema 1.8. În cazul în care - integritatea zonei, inelul polinomial este, de asemenea, un domeniu de integritate.

Această teoremă este o consecință imediată a Propozitia 1.7.

De la Teoremele 1.8 și 13.2.1 implică următoarele corolar.

Corolarul 1.9. Pentru inelul polinoamelor peste integritatea zonei este domeniul fracțiilor.