problema Cauchy în soluția de ecuații diferențiale

soluții ale ecuației diferențiale y „= f (x, y) depind de constantele u, deci sunt mai multe soluții ale acestei ecuații. Aș dori să clarifice condițiile privind funcția f (x, y), în care puteți selecta o anumită soluție a acestei ecuații care satisface cerințele predeterminate. Pentru ordinul întâi cerințe de ecuații sunt după cum urmează.

Găsiți soluția ecuației diferențiale:
y „= f (x, y) (1)
îndeplinește condițiile
y (x0) = y0. (2)
Aceste condiții sunt numite condițiile Cauchy. și problema alocării soluției satisface Cauchy - problema Cauchy.

Pentru rezolvarea expresiei inițiale trebuie să fie redus la forma: a1 (x) y „+ a0 (x) y = b (x). De exemplu, pentru y'-exp (x) = 2 * y va y'-2 * y = exp (x).

Definiția. Spunem că funcția f (x, y) satisface Lipschitz y în D, în cazul în care pentru oricare două puncte (x, y1), (x, y2) din această regiune, inegalitatea:
| F (x, y1) - f (x, y2) | ≤ L | y1 - y2 |, (3)
unde L este o constantă care nu depinde de x.

Teorema. (Existența și unicitatea). Să presupunem că în ecuația (1) y „= f (x, y) funcția f (x, y), definit în regiunea D pe planul, continuă în x și Lipschitz (3) pentru y. Apoi, există un interval pentru orice punct (X0 - # 955;, x0 + # 955;) și funcția y = # 966; (x) definit pe intervalul, astfel încât y = # 966; (x) este o soluție care satisface condiția (2). Această soluție este unică, în sensul că, dacă y = # 966; (x) este soluția ecuației (1) este definită pe intervalul (# 945;, # 946;), care include punctul x0. și satisface condiția (2), funcția # 966; (x) și f (x) sunt aceleași oriunde sunt ambele determinate.