Problema Cauchy

Soluția de rezolvare a problemei Cauchy este o funcție definită pe intervalul , cuprinzând x 0>. care este soluția ecuației (1) și care satisface condiția inițială (2).

Definiția. Solutia ecuației integrale: y (x) = y 0 + ∫ x 0 x f D s (e y (e).). (3) + \ int _> ^ f (s, y (s)) ds, >>

Lema. Funcția de y = (x) cp este o soluție a problemei Cauchy dacă și numai dacă este o soluție a ecuației integrale.

∫ x 0 xd cp ds (s) dx = ∫ x 0 xf (s φ (s).) Ds ⇒ φ (x) - φ (x 0) = ∫ x 0 xf (s. Φ (s)) Ds ⇒ φ (x) = y 0 + ∫ x 0 xf (s. φ (s)) d s. ∀ x ∈> ^> (S) dx = \ int \ limite _> ^ f (s, \ phi (s)) ds \ rightarrow \ phi (x) - \ phi (x _) = \ int \ limite _> ^ f (s , \ phi (s)) ds \ rightarrow \ phi (x) = y _ + \ int \ limite _> ^ f (s, \ phi (s)) ds, \ forall x \ în >

Acum, să y = φ (x) - soluția ecuației integrale, arată că aceasta este soluția de dif. ecuație și satisface condiția inițială. Pentru a face acest lucru, primul substitut în (3) x = x 0>. y (x 0) = y 0 + ∫ x 0 x 0 f (s y (s) ds = y 0 -. condiția inițială) = y _ + \ int \ limite _> ^> f (s, y (s) ds = y _ >>

Diferențierea (3) pentru a obține (1)

Definiția. Secvența funcțiilor <φ n> n = 1 ∞ \> _ ^> este uniform mărginit dacă ∃ C> 0. | φ n (x) |

Lema Ascoli Arzela. Teorema lui Peano Editare

Lema Ascoli Arzela. Din orice equi uniform delimitate și secvență continuă funcționează <φ n> n = 1 ∞ \> _ ^> poate fi selectat subsequence uniform convergent φ n k ⇉ φ (x). (Φ ∈ C [a. B])> \ rightrightarrows \ varphi (x), (\ varphi \ în C [a, b])>

Dovada. lăsa <φ n> n = 1 ∞ \> _ ^> - uniform mărginită și equicontinuous. ε 2 = 1 C = N >> - împărțiți dreptunghi în dungi verticale cu înălțimea ε 1> 1 și o lungime h <δ ( ε 1 ) <\delta (\varepsilon _)>

Programeaza fiecare dintre funcțiile n cp> poate fi nu mai mult de două perechi adiacente dreptunghiuri înălțime 1 £>. Fiecare bară verticală are o pereche de dreptunghiuri, care este un set infinit de grafice, patrulatere desigur, și subsequences pe termen nelimitat. Am ales o subsecventa funcții în aceste dreptunghiuri <φ 1 n> n = 1 ∞ \> _ ^>

Φ φ 11 ⏟ din 12 ... φ 1 n φ 21 φ 22 ⏟ ... φ 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ φ p φ p 1 2 ... φ p n ⏟ \ underbrace> \ _ \ Varphi puncte \ Varphi _ \\\ varphi _ \ underbrace> \ puncte \ Varphi _ \\\ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\\ varphi _ \ _ \ varphi puncte \ Underbrace> \\\ end >>

Teorema Peano. Fie f să fie definite și continuă în G și lăsați punctul (x 0. y 0) ∈ G, y _) \ în G>

Apoi, există o soluție a problemei Cauchy definită la un anumit interval de [x 0 - △. x 0 + △] - \ vartriangle, x _ + \ vartriangle]>

Functia este continua pe un set închis, dar pe ea mărginită pista: ∃ L = m o x ∈ S | (x y.) f (x y.) | <∞ |f(x,y)|<\infty> . Fix unele N și ia în considerare o partiție a intervalului: x i = x 0 + i * h n. h n = △ N = X_ + i * h_, h _ = >>. Desenul Euler rupt prin (x 0. y 0), y _)>. astfel încât coeficientul unghiular este f (x i. y), y _)> to (x i. x i + 1), x _)>. Polilinia nu poate merge dincolo de △. din moment ce ea a rupt la unghiul de înclinare trebuie să fie mai mare decât L, și este imposibil. obținem o secvență <φ N ( x )> N = 1 ∞ (x) \> _ ^>.

La [x j. xj + 1] φ N (x) = φ N (xj) + f (x j φ N (xj).) (x - xj), x _] \ varphi _ (x) = \ varphi _ (x _) + f (x _, \ varphi _ (_ x)) (x-x _)>

Secvența este delimitată: y 0 - △ L ≤ φ N (x) ≤ y 0 + △ L ∀ x ∈ [x 0. x 0 + △] ∀ N ≥ 1 - \ L vartriangle \ leq \ varphi _ (x) \ leq y _ + \ vartriangle L \ forall x \ in [X_, x _ + \ vartriangle] \ forall N \ geq 1> (1) de asemenea, remarcăm că secvența uniform continuă: ∀ ε> 0 ∃ δ (ε) = ε L ∀ x “. x „∈ [x 0. x 0 + △] | x „- x„| <δ ( ε )>\ FORALL x 'x' '\ în [X_, x _ + \ vartriangle] | X'-x' „|<\delta (\varepsilon )> De aici Ascoli Lema Arzela ∃ φ N k (x) ⇉ φ (x)> (x) \ rightrightarrows \ varphi (x)> pe [x 0. x 0 + △], x _ + \ vartriangle]>. aici cp - soluția problemei Cauchy.

Reparăm un punct x ∈ [x 0. x 0 + △], x _ + \ vartriangle]> .Dacă începe să se schimbe N. există o poză cu mine subsegmente, dar de fiecare dată când x va aparține într-o oarecare interval de [x i. x i + 1]. i = i N k, x _]. i = i _ >>

Primul termen din lungimea sumei segmentului tinde la zero se va strădui să integralei: y 0 + Σ j = 1 i + 1, f (. X j φ N k (x j)) H N k. j = ∫ x 0 xf (s. φ (s)) ds + \ sum \ limite _ ^ f (x _, \ varphi _> (x _)) h_, j> = \ int \ limite _> ^ f (s, \ varphi (s)) ds>.

| O s t | pot fi evaluate | Σ j = 0 i [f (x j φ N k (x j).) - f (. X j φ (x j))] H N k. j | ≤ ε △ ^ [f (x _, \ varphi _> (x _)) - f (x _, \ varphi (x _))] h_, j> | \ leq \ varepsilon \ vartriangle> când N k> N 0 (ε) > N _ (\ varepsilon)>. Acest lucru sugerează că O s t → 0 când k → ∞> k \ rightarrow \ infty>

Ne întoarcem acum la peredlu când k → ∞. φ (x) = φ 0 + ∫ x 0 x f (s. φ (s)) d s + \ int \ limite _> ^ f (s, \ phi (s)) ds>. ravnenstvo este adevărat pentru ∀ x ∈ [x 0. x 0 + △], x _ + \ vartriangle]>

Unicitatea soluției problemei Cauchy Editare

Definiția. Funcția f satisface local în condiții G Lipschitz în variabila y, dacă ∀ (x 0. y 0) ∈ G 1 ∃, y _) \ in G_ \ exista> vecinătate U (x 0. y 0), y _)> și constanta L = L (x 0. y 0)> 0. | f (x y“.) - f | (x y“.) ≤ L | y „- y„| ∀ (x y. ') (X y“.) ∈ U (x 0. y 0), y _)> 0: | f (x, y') - f (x, y '') | \ leq L | y'-y '' | \ forall (x, y) (x, y ' „) \ U (X_, y _)>

Teorema. Daca functia f satisface condiția locală Lipschitz, atunci singura soluție la problema Cauchy

set nevid de puncte și limitate. φ 1 (β) = φ 2 (β) (\ beta) = \ varphi _ (\ beta)>

Deoarece supremum φ continuu - maximă medie φ 1 (β) = φ 2 (β) = γ (\ beta) = \ varphi _ (\ beta) = \ gamma> și φ 1 (x)> φ 2 (x) ∀ x ∈ (β. x *] (x)> \ varphi _ (x) \ forall x \ in (\ beta, x ^]><>