progresie aritmetică, Lampa - tutorial on-line pe care oricine le poate îmbunătăți

Secvențe care sunt discutate în acest capitol au proprietăți interesante: este posibil să se calculeze următorul membru al secvenței, cunoscând membrul anterior, conform unei formule. Dacă vom folosi proprietățile acestor secvențe, multe dintre matematică, fizică și economie sunt mult simplificate.

Să începem cu o progresie aritmetică.

Că o astfel de progresie aritmetică?

progresie aritmetică - o secvență numerică formează un 1. 1 + d. 1 + a 2 d. un 1 + n d. a_1, a_1 + d, a_1 + 2d. a_1 + nd. 1a. 1 + d. 1 + a 2 d. un 1 + n d.
adică o secvență de numere, fiecare dintre care, pornind de la al doilea, obținute din precedentă adăugarea la aceasta un ddd număr constant (diferență aritmetică progresie): o = an - 1 + d a_n = a_ + da n = a n - 1 + d.

Segmentul final al unei secvențe numită progresie aritmetică finită. sau pur și simplu o progresie aritmetică.

Pentru orice pereche de termeni consecutive ale secvenței ak a_k a k și ak + 1 a_ k + 1, diferența dintre ele este egal cu același număr: ak + 1 - ak = d a_-a_k = da k + 1 - a k = d.

De exemplu, o secvență de 4 4 ​​4. 6 6 6 8 8 8 1 0 10 1 0. 1 2 12 1 2 este o progresie aritmetică cu o diferență din 2 februarie 2. Aceasta crestere progresie aritmetică.

Secvență 3 3. 2 3 2 2 1 1 1 0 0 0. - 1 -1 - 1 este o progresie aritmetică cu o diferență de - 1 -1 - 1. Este o progresie aritmetică în descreștere.

Este progresie aritmetică următoarea secvență: 1 1 1 - 1 -1 - 1 2 2 2 - 2 -2-2 3 3 3 - 3 -3-3.

Cum de a găsi o progresie pe termen arbitrar?

Dacă știm diferența dintre primul termen al unei progresii aritmetice, atunci putem găsi cu ușurință orice alt membru al acestui progres. De fapt, a 2 = a 1 + d a_2 = a_1 + d a 2 = a 1 + d. 3 = a 2 + d = a + 1 2 d a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d 3 = a + d = a + 1 2 d 2. 4 = 3 = a + d + 1 d 3 = a_4 a_3 d + a_1 + 3d = 4 = 3 = a + d + 1 d 3, etc. k k k pe termen lea putem găsi următoarea formulă:

a k = 1 + (k - 1) d. a_k = a_1 + (k-1) d. a k = 1 + (k - 1) d.

Localizați 1 0 0 1 1001 1 0 0 1 termen th unei progresii aritmetice 7 7. 1 7 7 17 1 7. 2 7 27 2 7 ..

Dacă nu știm 1 1 1-lea, și, să zicem, 1 0 10 1 0-lea termen al progresiei, putem găsi, de asemenea, orice alt membru, dacă știm diferența. De exemplu, dacă dorim să găsim o august 18 1 8 termen lea, putem folosi faptul că un 1 8 1 0 = a + 8 = d a_ a_ + 8d 1 8 1 0 = o 8 + d.

Următoarea formulă conectează oricare doi membri ai progresiei:

a n = a k + (n - k) d. a_n = a_k + (n-k) d. a n = a k + (n - k) d.

Găsiți 2 2 2-lea termen de progresie a bolii, în cazul în care se știe că luna februarie 1 12 1 2 Termenul th este 05 februarie 25 5 februarie o diferență egală cu 2 2 2.

Cum de a găsi diferența în progresie aritmetică?

Folosind formula de mai sus, putem găsi cu ușurință diferența în progresie, știind oricare doi dintre membrii săi. De fapt, formula a n = a k + (n - k) d a_n = a_k + (n-k) d a n = k + (n - k) d urmează această formulă:

d = a n - a k n - k. d = \ frac. d = n - k a n - a k.

O sarcină simplă este acum gata până la progresia bolii (pentru această primă declarație de scriere a problemei sub forma de formula progresie aritmetică):

Hermione a fost prima zi de la Hogwarts au învățat o vraja și învață în fiecare zi, pentru un număr de vrăji mai mult decât în ​​ziua precedentă. La 8 8 8-a zi a învățat 1 5 15 1 5 vrăji. Câte vrăji mai mult ea învață în fiecare zi?

Amintiți-vă această regulă simplă:
Dacă problema este o creștere într-o anumită sumă la același număr, atunci vorbim despre o progresie aritmetică.

O proprietate caracteristică a unei progresii aritmetice

Luați în considerare unele progresie aritmetică, de exemplu: 1 = 2. a = 5. a 2 3 = 8. a = 1 4 1. a_1 = 2, a_2 = 5, a_3 = 8, a_4 = 11. 1 a 2 = 2. a = 5. 3 = 8. a = 1 4 1. Pentru fiecare n ≥ 2 n \ ge 2 n ≥ 2. (n + 1 ) (n + 1) (n + 1) -lea termen progresie mai mare nnn th d = 3, d = 3 și d = 3. nnn membru -lea (n - 1) (n-1) (n - 1 ) -lea, de asemenea, pentru d = 3, d = 3, d = 3. de aceea nnn termenul th este egal cu media aritmetică (n - 1) (n-1) (n - 1) -lea și (n + 1) (n + 1 ) (n + 1) th membru.

Este ușor de verificat că următoarea declarație:

Secvența unui 1. 2. 3. a_1, a_2, a_3. 1a. un 2. 3a. o progresie aritmetică dacă și numai dacă o = o - 1 + o + 1 2 a_n = \ frac + a_> a n = 2 a n - 1 + a n + 1 pentru orice n ≥ 2 n \ ge 2 n ≥ 2.

Este realizată și o proprietate mai general: o = o - K + o + k 2 a_n = \ frac + a_> a n = 2 a n - k + a n + k . unde n> k n \ gt k n> k.

1 1 1-lea termen al unei progresii aritmetice este egal cu - 1 8 -18-1 și 8. 1 0 1 101 1 0 1 st este egal cu 2 1 8 218 2 1 8. Ce este 5 1 51 5 ianuarie termen-lea?

Suma primilor n n n termenii unei progresii aritmetice

O altă formulă care este adesea util:

Suma primilor n n n termenii unei progresii aritmetice: S n = a 1 + a 2 +. + A n = a 1 + a n 2 ⋅ n. S_n = a_1 + a_2 +. + A_n = \ frac \ cdot n. S n = a 1 + a 2 +. + A n = 2 a 1 + a n ⋅ n.

Dacă ați înțeles modul în care este derivat această formulă, atunci amintiți-vă că va fi mult mai ușor.

Primul și ultimul membru al sumei la un 1 + a n a_1 + a_n un 1 + n. Al doilea și penultimul - de asemenea, un 1 + a n a_1 + a_n a 1 + a n. ca 2 + o - 1 = a + d + 1 o - d = a + un a_2 + a_ = a_1 + d + a_n-d 1 = a_1 + a_n a 2 + a n - 1 = 1 a + d + a n - d = 1 + a n. In mod similar, al treilea și al treilea termen progresia de progresie membru final a da un + a n + a_1 1 a_n a 1 + a n, etc.
Există două cazuri:
1) În cazul în progresia unui număr egal de membri, aceștia sunt împărțiți în perechi (a k a n -. K) (a_k, a_) (a k a n -. K). k = 1. 2 n k = 1. \ Frac k = 1. 2 n. unde suma membrilor din fiecare pereche este 1 + a n a_1 + a_n a 1 + a n. Deoarece toate perechile n 2 \ Frac 2 n. atunci suma tuturor progresia numerelor egale (a 1 + a n) ⋅ n 2 (a_1 + a_n) \ cdot \ frac (a 1 + a n) ⋅ 2 n.
2) În cazul în care evoluția unui număr impar de membri, dar toate unul (membrii centrali), împărțiți în perechi (a k un -. K) (a_k, a_) (a k a n -. K) . k = 1. n - Feb. 1 k = 1. \ Frac k = 1. 2 n - 1. cu o valoare egală cu 1 + a n a_1 + a_n a 1 + a n. Total se transformă n - 1 2 \ Frac 2 n - 1 astfel de perechi. membru central (număr membru n + 1 2 \ frac 2 n + 1) este egal cu un un 2 \ frac 2a 1 + a n (media primului 1 + și ultimul membru al progresiei). Apoi, suma unei progresii aritmetice este 1 + a 2 +. + A n = (a 1 + a n) ⋅ n - 1 + 1 + 2 a n 2 = (a 1 + a n) ⋅ n 2 a_1 + a_2 +. + A_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ frac + \ frac = (a_1 + a_n) \ cdot \ frac a 1 + a 2 +. + A n = (a 1 + a n) ⋅ 2 n - 1 + 1 + 2 a n = ( a 1 + a n) ⋅ 2 n.

Astfel, cunoscând doar prima și ultima membri ai progresiei, am putea găsi în valoare folosind formula:

S n = (a 1 + a n) ⋅ n 2. S_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ frac. S n = (a 1 + a n) ⋅ 2 n.

Ce se întâmplă dacă știm doar prima progresie pe termen lung și diferența de progresie? Apoi, ne putem exprima o n a_n a n prin 1 a_1 1 și d d d și substituite în formulă pentru suma:
S n = (a 1 + o) ⋅ 2 = (1 + 1 + (n - 1) d) ⋅ 2 = na 1 2 + d ⋅ n (n - 1) 2. S_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ frac = (a_1 + a_1 + (n-1) d) \ cdot \ frac = \ frac + d \ cdot \ frac. S n = (a 1 + a n) ⋅ 2 n = (a 1 + 1 + (n - 1) d) ⋅ 2 n = 2 na 1 + d ⋅ 2 n (n - 1).

Un caz deosebit de important de progresie aritmetică sum este o formulă pentru suma primilor n n n numere naturale: 1 + 2 +. + N = n (n + 1) 2 + 1 + 2. + N = \ frac + 2 + 1. + N = 2 n (n + 1).

Carl Friedrich Gauss, care mai târziu a devenit un matematician mare, derivat în mod independent, această formulă în sala de clasă, la școală aritmetică. Dorind să păstreze copiii ocupat pentru o lungă perioadă de timp, profesorul le-a cerut să numere suma numerelor 1 1 1 1 0 0 100 1 0 0 Young Gauss a observat că suma pairwise de la capetele opuse ale aceluiași: 1 + 1 = 1 0 0 0 1 1 + 100 = 1 + 1 101 0 0 = 1 0 1. 2 + 9 9 = 1 0 1 2 + 99 = 101 2 + 9 9 = 1 0 1, etc. și a primit instantaneu rezultatul 5 0 ⋅ = 1 0 1 5 0 5 0 50 \ cdot 101 = 5050 ⋅ 5 1 0 0 1 5 0 5 = 0.

Să observăm că Gauss utilizată în calcul este aceeași tehnică pe care am folosit pentru a dovedi formula pentru suma unei progresii aritmetice.

În rezolvarea problemei, se utilizează următoarea formulă pentru suma primelor n n n termenii unei progresii aritmetice:

Petrov, un student trebuie să rezolve 4 iunie 0640 6 4 0 sarcini pentru a pregăti bine pentru examen. Petrov este tipul de oameni care fac totul în ultimul moment, asa ca anxietatea lui crește pe măsură ce ne apropiem de data examenului. Preocupare îl face să decidă în fiecare zi, pentru un anumit număr de sarcini este mai mare decât el a decis în ziua precedentă. Știm că el a decis în prima zi doar 1 0 1 0 10 sarcini, dar încă mai avut timp să se pregătească pentru examen.

Determina cât de multe sarcini Petrov a decis, în a patra zi, când toate pregătirile au luat 16 zile.

Desigur, capacitatea de a se concentra la Petrova cruciale greve moment! Este bine că numărul de sarcini pe care el a decis, a fost în creștere în aritmetică. mai degrabă decât exponențial.

concluzie

Aici este o altă formulă care vă permit să rezolve practic orice problemă în progresie aritmetică:

a k = 1 + (k - 1) d; a_k = a_1 + (k-1) d; a k = 1 + (k - 1) d; d = a n - a k n - k; d = \ frac; d = n - k a n - a k; S n = a 1 + a 2 +. N + a = (a 1 + a n) ⋅ n 2 2 = a 1 + (n - 1) d 2. S_n = a_1 + a_2 +. + A_n = (a_1 + a_n) \ cdot \ frac = \ frac. S n = a 1 + a 2 +. N = a + (a 1 + a n) ⋅ 2 n = 2 a 1 2 + (n - 1) d.