Principalele teme ale matematicii
Toate numere întregi pozitive, cu excepția unităților sunt împărțite în simple și complexe. număr prim - este un număr natural care are doar două divizori: una și în sine. Toți ceilalți se numesc compozit. Studiul proprietăților numerelor prime de către o ramură specială a matematicii - teoria numerelor. Teoria inelelor numerelor prime se corelează cu elementele ireductibile.
Să o secvență de numere prime, începând cu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, etc.
Conform teoremei fundamentale de aritmetică, fiecare număr întreg pozitiv, care este mai mare decât poate fi reprezentat ca un produs de numere prime. Cu toate acestea, aceasta este singura modalitate de a reprezenta numere întregi pozitive de până la ordinea factorilor de repetiție. Pe această bază, putem spune că numerele prime - o parte de bază a numerelor naturale.
Această reprezentare a unui număr întreg pozitiv, se numește o descompunere a unui număr natural în numere prime sau factorizarea numărul.
Una dintre cele mai vechi și cele mai eficiente metode de a calcula numere prime este un „Erastofena sită“.
Practica a arătat că, după calcularea numerelor prime, folosind o sită Erastofena doriți să verifice dacă un anumit număr este prim. În acest scop, a dezvoltat teste speciale, așa-numitele teste de simplitate. Algoritmul acestor teste sunt probabilistice. Cel mai adesea, acestea sunt utilizate în criptografie.
Apropo, că există specializate teste de simplitate eficiente pentru anumite categorii de numere. De exemplu, pentru a testa numere Mersenne sunt utilizate pentru a ușura testul Luc Lemaire, și pentru a verifica ușurința Fermat - testul Pepin.
Știm cu toții că numerele sunt infinit de multe. ridică întrebarea pe buna dreptate: cum, atunci, există un număr prim? numere prime ca număr infinit. Cea mai veche dovadă a acestei declarații este o dovadă a lui Euclid, care este conținut în „Principia“. Dovada lui Euclid este după cum urmează:
Imaginați-vă că numărul de numere prime este finit. Înmulțiți-le împreună și se adaugă unul. Numărul rezultat nu poate fi divizat oricare dintre un set finit de amorse, deoarece restul de divizare pe oricare dintre ele oferă unității. Astfel, numărul trebuie să fie divizibil cu un număr prim nu este inclus în acest kit.
grunduiește distribuție Teorema afirmă că numărul de amorse mai puțin decât n, π notat (n), crește ca n / ln (n).
Caracteristica principală a numerelor Mersenne este existența unui test de simplitate extrem de eficient Lucas - Lehmer. Cu ajutorul unei prime Mersenne perioadă lungă de timp, sunt cele mai mari PRIMES cunoscute.
Cu toate acestea, multe întrebări cu privire la numere prime nu au primit răspunsuri precise la această zi. La al 5-lea Congres Internațional de matematică Edmund Landau formulate probleme majore în domeniul numerelor prime:
problemă Goldbach sau prima problemă Landau este că este necesar să se confirme sau să infirme că fiecare număr par mai mare de două, poate fi reprezentat ca suma a două numere prime și fiecare număr impar mai mare de 5 poate fi scris ca suma a trei prim- numere.
A doua problemă Landau trebuie să răspundă la întrebarea: Este infinit mai multe „gemeni simplu“ - numere prime, diferența dintre care este egal cu 2?
Ipoteză Legendre sau a treia problemă Landau este aceasta: Este adevărat că între n2 și (n + 1) 2 este întotdeauna un număr prim?
A patra problemă Landau: dacă infinit de multe amorse de forma n2 + 1?
În plus față de aceste probleme, există problema definirii unui număr infinit de amorse in multe tipuri de întregi secvențe de numere Fibonacci, numerele m și Farm. D.
Principalul domeniu de aplicare este de numere prime criptografiei. Cele mai frecvente în acest domeniu au primit amorse aproximativ 10300. amorse folosite suplimentar în tabel hash, precum și pentru generarea de numere pseudo-aleatoare (în special prng Mersenne Twister).